Отношение эквивалентности


Правда, по такому отношению любой объект-система будет выступать как изоморфическая модификация любого другого объекта-системы, как бы далеко они ни отстояли друг от друга, даже если один из них материальный, другой идеальный. Сказанное справедливо и для любой цепочки превращений объектов-систем, сколь бы существенными они ни были, например типа: «живой организм труп зола после его сжигания». Это справедливое суждение позволяет прийти к закону сохранения инвариантной формулировке закона системности. Закон сохранения системного сходства: какие бы превращения объекты-системы ни испытывали, системное сходство как с самими собой, так и с другими объектами-системами сохраняется.
Выявление системного изоморфизма в виде системы объектов данного изоморфического рода позволяет автоматически предложить алгоритм построения изоморфизма в виде уже сформулированного алгоритма построения системы объектов данного рода. Например, следуя этому алгоритму, мы можем в качестве «первичных» элементов отобрать объекты-системы сравниваемых систем объектов родов А и В (т. е. SA и SB), «наложить» на эти элементы отношение единства, т. е. сочетания во всевозможные пары; ограничить данное отношение выбранным условием сходства «иметь признаки П1, П2, ..., Пк» и образовать подчиняющийся всем этим ограничениям особый «системный изоморфизм», т. е. подсистему декартова произведения систем SA и SB.
К сожалению, приведенный алгоритм недостаточно эвристичен. Это обстоятельство заставило нас разработать особый алгоритм предсказания сходства системного изоморфизма. Согласно этому эвристическому приему, необходимо, во-первых, установить принципиальные особенности объекта-системы или системы объектов данного рода; во-вторых, построить абстрактную модель, изоморфную по этим особенностям оригиналу; в-третьих, отобрать из уже известных науке объекты-системы или системы объектов данных родов, изоморфные данной модели, и, наконец, в-четвертых, установить изоморфизм исходного объекта-системы или системы объектов данного рода отобранным объектам-системам или системам объектов данных родов.
Использование алгоритма предсказания сходства позволило впервые предсказать и детально описать изомерийный а) диссимметрический изоморфизм между 16 изомерами листьев липы и 16 изомерами молекул альдогексоз; б) диссимметро-недиссимметрический изоморфизм между 9 изомерами молекул инозита и 9 из 14 изомерами 6-членного венчика барбариса; в) недиссимметрический изоморфизм между цис- и транс-изомерами молекул дихлорэтилена и цис- и трансизомерами 4-членного венчика ночной фиалки [89].
Посредством этого же алгоритма и закона соответствия (см. далее) нам удалось разработать хемоцентрический (стандарт сравнения глицериновый альдегид), антропоцентрический (стандарт сравнения человек) и хемо-антропоцентрический (стандарты сравнения глицериновый альдегид и человек) способы однозначного определения знаков энантиоморфизма (правизны или левизны) химических и нехимических объектов и решить труднейшую задачу определения знаков энантиоморфизма нехимических (в частности, биологических) диссобъектов посредством химических, а химических посредством нехимических диссобъектов [95].
Новый шаг в развитии обобщенного учения об изоморфизме можно сделать посредством отношения эквивалентности как важного частного случая изоморфизма.
Определение 6. Назовем отношением эквивалентности между объектами-системами одной и той же системы Sc отношение R Sc Sc, обладающее свойствами: 1) рефлексивности: всякий объект-система а эквивалентен самому себе; другими словами, для всякого a Sc имеем (а, а) R, или, что то же самое, для всех a Sc выполняется aRa; 2) симметричности: если а эквивалентен b, то b эквивалентен а; другими словами, если (а, b) R, то (b, а) R, откуда следует, что R = R-1, или aRb bRa; 3) транзитивности: если а эквивалентен b и b эквивалентен с, то а эквивалентен с; другими словами, (а, b) R и (b, c) R (а, c) R , или aRb и bRc aRc.
Отношение эквивалентности удобно обозначать знаком ~ (тильда).
Определения системного изоморфизма и эквивалентности почти дословно совпадают друг с другом. Это сделано намеренно, чтобы подчеркнуть частный характер второй по отношению к первому, но главной задачей является исследование с помощью понятия «эквивалентность» связи «системный изоморфизм симметрия».

Изучать эту связь можно по меньшей мере двумя способами: во-первых, посредством понятия «равенство» важного частного случая отношения эквивалентности; во-вторых, путем вывода законов соответствия и симметрии, осуществляемого с использованием представления об эквивалентности. Остановимся на этих моментах подробнее.
Равенство симметрия. Будем считать равными по признакам П все такие объекты О, которые становятся неотличимыми друг от друга по сравниваемым признакам после изменений И. Если мы теперь сопоставим данную дефиницию с определением симметрии (см выше) и слово «совпадение» в этом определении заменим словом «равенство», то убедимся, что симметрия это... равенство или по крайней мере такое «явление», которое в качестве своей основы содержит равенство. При этом каждая из четырех аксиом теории групп (аксиома замыкания косвенно, а остальные три непосредственно) также говорит о тех или иных равенствах, так что и с позиций теории групп подтверждается сделанное заключение о симметрии.
Аналогично обстоит дело и с «равенством». Если в приведенной дефиниции слово «равными» заменить словом «симметричными», то станет ясно, что равенство это... симметрия или нечто, содержащее в своей основе симметрию. О том же говорят и свойства отношения эквивалентности, а стало быть, и свойства отношения равенства, т. е. «рефлексивность», «симметричность», «транзитивность», так как эти свойства равнозначны трем групповым аксиомам о нейтральном элементе, об обратных элементах, о замкнутости группы на себя.
Итоги такого двойного анализа (симметрии с точки зрения равенства, а равенства с точки зрения симметрии) настойчиво побуждают нас сделать простой на первый взгляд вывод о том, что симметрия это равенство, равенство это симметрия. Соответственно и асимметрия это неравенство, неравенство это асимметрия.
Из сказанного следует, что равенство (как и неравенство) относительно. На примере учения о структурной симметрии мы детально показали [см.: ,92], что в основе любых симметрии как классических, так и неклассических, разработанных за последние 60 лет (подробнее о последних см. в книге А. М. Заморзаева), лежит именно релятивистское понимание равенства. Это обстоятельство позволяет рассматривать историю развития представлений о симметрии как историю открытий нетривиальных равенств и учений о них.

11. Законы соответствия и симметрии

Формально систему объектов рода i можно рассматривать как конечное или бесконечное множество объектов-систем, заданное посредством такого основания Аi которое включает в себя a { Аi(0)}, r { Ri}, z {Zi} . Это отождествление позволяет автоматически переносить понятия и теоремы теории конечных и бесконечных, неразмытых и размытых множеств на область ОТС и тем самым развивать последнюю и как теорию конечных и бесконечных, неразмытых и размытых систем. Именно путем простого переноса знаний мы докажем существование важных для ОТС законов соответствия и симметрии. Однако прежде чем давать их определения и приводить теоретико-множественные схемы их доказательств, сделаем необходимые пояснения.
По аналогии с теорией множеств будем считать, что бесконечная система объектов-систем рода В SB = {a, b, c,...} имеет ту же мощность, что и бесконечная система объектов-систем рода С Sc = (,,,...}, если существует взаимно однозначное соответствие между объектами-системами этих систем хотя бы по одному какому-нибудь закону ()f = a (где f закон функционального отношения). В силу сказанного можно утверждать, что Sc равномощно SB, и писать | SC| ~ | SB|, где знак ~ (тильда) есть одновременно знак эквивалентности, поскольку определенное таким образом отношение есть отношение эквивалентности.
Очевидно, понятие одинаковой мощности для конечных систем объектов сводится к понятию равного числа объектов-систем, к равночисленности. Это означает, что понятие мощности есть обобщение понятия числа элементов. И подобно тому как для двух конечных систем родов В и С с числом элементов n1, и n2 возможно только одно из трех соотношений n1=n2, n1n2, n1 n2, для двух бесконечных систем объектов S1 и S2 с мощностями, выраженными кардинальными числами m1, и m2, также возможно лишь одно из трех соотношений m1 = m2, m1 m2, m1 m2.
Предложения 24, 25. Законы соответствия и симметрии. Между любыми двумя системами объектов-систем S1 и S2 возможны соотношения лишь следующих четырех видов:
1) S1 и S2 взаимно эквивалентны и симметричны;
2) в S1 есть собственная часть, эквивалентная и симметричная S2, а в S2 есть собственная часть, эквивалентная и симметричная S1.
3) в S1 есть собственная часть, эквивалентная и симметричная S2, но в S2 нет собственной части, эквивалентной и симметричной S1;
4) в S2 есть собственная часть, эквивалентная и симметричная S1; но в S1 нет собственной части, эквивалентной и симметричной S2.



Содержание  Назад  Вперед