Теория групп неэволюционных, эволюционных системных преобразований


С точки зрения центрального предложения одним и тем же названием, например «Кл преобразование», обозначаются и преобразования, изменяющие числа каждого «первичного» элемента объекта-системы, и преобразования, изменяющие числа лишь части его «первичных» элементов.
Далее. Это предложение показывает, что вся совокупность системных преобразований состоит из одного тождественного и семи нетождественных. Знание числа и качества их имеет немаловажное значение. Так, исходя из этого знания, мы можем утверждать, что только семью различными способами неживая, живая природа и общество могут творить свои объекты-системы.

Между тем принципиально важный вопрос о числе и виде способов порождения (преобразования) объектов ни философы, ни естествоиспытатели еще не ставили, за исключением разве Демокрита из Абдеры [подробнее об этом см. 94], даже тогда, когда постановка данного вопроса и ответ на него буквально напрашивались при создании различных эволюционных и генетических концепций. Это обусловило неполноту этих концепций.

Например, А. Н. Северцов [74], перечисляя в созданной им теории развития онтогенеза модусы филэмбриогенеза, из семи возможных называет только два - изменение числа (пролонгацию удлинение, аббревиацию укорочение) и качества (девиацию уклонение) этапов эмбриогенеза. Пять других модусов филэмбриогенеза, несмотря на наличие фактического материала, им не выделяются. Аналогично обстоит дело и с синтетической теорией эволюции, с различными морфогенетическими концепциями.

Например, морфогенез пытаются свести в конечном счете лишь к увеличению или уменьшению числа и размеров клеток, к их дифференциации и дедифференциации, т.е. к 1) и 2) способам производства объектов-систем, и не учитывают пять других 3), 4), 5), 6), 7) способов их преобразований. Это с необходимостью требует дополнения указанных концепций на 5/71.
Так обстоит дело с преобразованием отдельного объекта-системы. Если же рассматривать преобразования совокупности объектов-систем, то в этом случае число таких преобразований будет значительно больше восьми.
Предложение 4. Совокупность объектов-систем в рамках системы объектов одного и того же рода благодаря своему существованию будет переходить по законам z {Zi} либо в себя посредством тождественного преобразования, либо в другие совокупности объектов-систем посредством одного из 254 (и только 254) различных способов.
В этом случае увеличение числа способов преобразования с 8 до 255 объясняется просто: преобразование одной совокупности объектов-систем в другие может происходить не только одним из 8, но и любыми 2 из 8, 3 из 8, ..., 8 из 8 способов.
8
A = С3i = 28- 1=255.
i=1
Разумеется, данные выкладки справедливы лишь для принятых здесь условий. Если же, например, различать порядок преобразований (что может оказаться важным при изучении протекания «реакций» во времени), а также кратность использования при этом каждого способа преобразования, то число различных «переделок» может возрасти до бесконечности.
Итак, мы описали все системные преобразования, возможные с точки зрения разработанной нами ОТС. Теперь проанализируем их и с точки зрения теории групп.

6. Теория групп неэволюционных, эволюционных системных преобразований, антипреобразований и их инвариантов. Формы изменения, развития, сохранения материи

Определение 4. Произвольное множество Г с заданным на нем действием * называется группой, если:
а) для каждых а, b Г произведение а * в принадлежит Г;
б) для любых трех элементов а, в, с Г выполняется равенство (а*в}*с = а*(в*с), т. е. действие умножения, заданное на Г, ассоциативно;
в) существует такой элемент е Г, что для каждого а Г имеем а*е = е*а = а, причем элемент е называется нейтральным (единичным, нулевым) для действия *;
г) для каждого элемента а Г существует такой единственный элемент b Г, что а*в = в*а = е.
Существует множество примеров группы. Так, множество Z всех целых чисел для действия сложения является группой. Действительно, сумма целых чисел это тоже целое число.

Действие сложения целых чисел имеет ассоциативное свойство. нейтральным элементом для действия сложения целых чисел служит число 0, потому что для каждого а Z имеем а + 0 = 0 + а = а. Кроме того, для каждого числа а Z существует такое число а Z, что а+ ( а) = ( а) +а = 0. Следовательно, тожество Z всех целых чисел группа.

Если группа состоит из конечного числа элементов, то она называется конечной группой, а число элементов в ней называется порядком группы. Далее. Непустое подмножество А группы Г считается подгруппой, если вместе с каждым элементом а оно содержит также и обратный ему элемент а-1 и вместе с каждыми двумя элементами а, в оно содержит и их произведение ab.

Очевидно, всякая подгруппа данной группы Г является группой относительно той операции, которая определена в Г. Пример: аддитивная группа всех четных чисел является подгруппой аддитивной группы всех целых чисел.
Конечную группу удобно задавать в виде так называемой таблицы «умножения» группы схемы Кэли2. Элементы группы располагаются в верхней строке и в том же порядке в левом столбце таблицы, а внутри ее размещаются «произведения» элементов (см. табл. 2).

Таблица 2. Схема Кэли Группы порядка 2 с элементами 1, 1


F


-1



-1

-1

-1


В этой группе два элемента: + 1 и 1, закон их композиции дан символом F в данном случае в виде обычного умножения в качестве бинарной операции. Вообще же закон композиции элементов группы может сильно отличаться от обычного умножения или сложения, поэтому применительно к группе говорят не просто об умножении, а об «умножении», имея в виду расширительное толкование этого термина, в чем можно убедиться, анализируя приводимые ниже схемы Кэли системных преобразований и антипреобразований.
Групповая природа той или иной совокупности элементов является лишь математическим выражением внутренней симметрии, гармонии, совершенства данной совокупности. Действительно, симметрия в рамках ОТС предстает как системная категория, обозначающая совпадение по признакам «П» систем «С» после изменений «И» [см.: 91]. И в связи с каждой из четырех аксиом теории групп можно утверждать, что произвольная группа Г симметрична, ибо: 1) относительно заданного на ней закона композиции Z для каждых а, в Г композиция aZb также принадлежит Г, а вся группа после всех возможных парных «произведений» по составу ее элементов совпадает сама с собой (аксиома «замыкания»); 2) для любых трех элементов а, в, с Г имеет место равенство (aZb) Zc = aZ (bZc), т. е. инвариантность результатов произведений трех элементов относительно, различных расстановок скобок; 3) существует такой (единственный) элемент e Г, что для каждого а Г имеем aZe = eZa = a, т. е. совпадение элемента а с самим собой после его композиции с е; 4) для каждого элемента а Г существует (единственный) симметричный (обратный) ему элемент в Г, так что aZb = bZa = e, т.е. композиция симметричных элементов дает так называемый нейтральный элемент е, который сам по себе относительно Z образует группу 1-го порядка.
Симметричность группы объясняет, почему групповую природу совокупности системных преобразований, самой системы относительно тех или иных законов композиции мы рассматриваем как выражение их симметричности.
Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества. Ее математическое выражение теория групп была признана одним из самых сильных средств познания первоначально в математике, а позднее в науке и в искусстве [117; 91]. Поэтому простое обнаружение теоретико-групповой природы системных преобразований представило бы большой познавательный интерес, связало бы ОТС с наиболее глубокими достижениями человеческой мысли, дало бы в руки ученых новое средство для исследования системы, поставило бы новые задачи по дальнейшей разработке математического аппарата ОТС.
Рассматривая далее совокупности системных преобразований и антипреобразований, действий и взаимоотношений (см. параграф 14 настоящей главы), мы ставили перед собой только одну цель: доказать, что данные совокупности, хотя бы относительно выбранных законов композиции, образуют группы, что они симметричны. Поэтому вопрос о содержательной интерпретации тех или иных групп, и прежде всего связанных с ними законов композиции, мы пока оставляем в значительной мере открытым.
Предложение 5 (доказано А. В. Маликовым). Совокупность восьми системных преобразований относительно закона композиции Z, заданного схемой Кэли этих преобразований, есть группа 8-го порядка.
В табл. 3 приведена эта схема, из которой непосредственно следует доказательство данного предложения.

Таблица 3. Схема Кэли группы системных преобразований 8-го порядка

Z

Т

Кл

Кч

О

КлКч

КлО

КчО

КлКчО
Т
Т

Кл

Кч

О

КлКч

КлО

КчО

КлКчО

Кл

Кл

Т

КлКч

КлО

Кч

О

КлКчО
КчО

Кч

Кч

КлКч

Т

КчО

Кл

КлКчО

О

КлО



КлО

КчО

Т

КлКчО

Кл

Кч

КлКч

КлКч

КлКч

Кч

Кл

КлКчО

Т

КчО

КлО

О

КлО

КлО

О

КлКчО

Кл

КчО

Т

КлКч

Кч

КчО

КчО

КлКчО

О

Кч

КлО

КлКч

Т

Кл

КлКчО

КлКчО

КчО

КлО

КлКч


Кч

Кл

Т



Содержание  Назад  Вперед