Все люди смертны


Особый вклад в эту область внесли два человека: Дедекинд и Кантор. Дедекинд первым ввел представление о бесконечности как о многообразии, или множестве, такого характера, что в нем есть определенная часть, содержащая столько же элементов, сколько их содержит все целое, — подобный пример мы рассматривали немного раньше. Когда Дедекинд перешел к формулировке своей теоремы о существовании в рамках этики, то, ставя вопрос о том, существует ли такая бесконечность, он взял в качестве примера человеческое мышление. В разуме возникает некая мысль, а затем может появиться мысль об этой мысли, потом третья мысль о второй и так далее; возникает последовательность:
1 Мысль 1
2 Мысль 2
3 Мысль 3
n Мысль N
Во втором ряду столько же элементов, сколько их в первом. Кроме того, существует один элемент — то самое Я, — который не входит в последовательность мыслей. Таким образом, один ряд является однозначно соответствующей частью другого, то есть равен его полноте.

Это значит, что человеческий разум потенциально бесконечен — не только в психологическом, но и в более глубоком смысле.
Сейчас мне хочется познакомить вас с математической индукцией — и не только для того, чтобы узнать новый математический факт. Это позволит нам лучше понять сам разум, так как индукция демонстрирует принцип выявления истины, чрезвычайно важный для всей математики и ее отношения к истине. Одновременно мы сравним этот принцип с законами обычной формальной логики.

Пусть, например, этот круг включает в себя все смертные существа (см. рис. 20).


Рис. 20
Все люди смертны. Это равносильно утверждению о том, что люди (множество которых мы изобразим кругом меньшего диаметра) образуют некое подмножество класса смертных существ. Далее можно сказать, что Сократ (отдельный элемент, обозначенный символом X) — человек. Поскольку он входит в меньший круг, можно прийти к выводу о том, что Сократ смертен. Таков схематический способ изображения этого силлогизма [18].

В данном случае мы воспользовались дедуктивной логикой: спустились из обширной области в более узкую методом исключения. Такая форма логики является не очень творческой, она больше пригодна для целей критического рассмотрения, анализа и так далее.
В индуктивной логике — в том привычном смысле, в каком она применяется в науке, — законы выводятся исходя из ряда наблюдений. Например, увидев набор точек на плоскости, вы можете попытаться придумать некую гипотезу, которая объяснит закономерность или взаимосвязь между положениями этих точек. В одной лекции я говорил о примере поиска подобной закономерности в расположении пяти точек.

Если вы наложите на этот закон ограничение и потребуете, чтобы он представлял собой уравнение второй степени, то найдете единственное решение, поскольку пять точек на плоскости однозначно определяют кривую второй степени. Но если вы не будете сковывать свое мышление такими ограничениями (то есть допустите, что закон может быть уравнением третьей, четвертой, пятой и любой другой степени), то через эти пять точек может пройти в буквальном смысле слова бесконечное число кривых.
Иначе говоря, существует бессчетное, потенциально бесконечное число возможных объяснений наших научных наблюдений — потенциально неисчислимое разнообразие. Мы не можем добиться однозначной, определенной истины. Именно по этой причине аксиоматическая наука имеет только прагматическую ценность.

Она некоторое время помогает, но рано или поздно становится неверной. После обобщения Ньютона люди считали, что наконец-то постигли истину. Эта точка зрения сохранялась очень долго, но и она была опровергнута. Теории Ньютона не удалось объяснить некоторые измерения после того, как люди смогли провести их точнее.

Сеодня более адекватными считаются идеи Эйнштейна, но завтра и они могут смениться новыми представлениями. Таким образом, аксиоматическая наука предлагает не окончательную, а прагматическую истину.
Математическая индукция представляет собой тот процесс, благодаря которому мы можем переходить от чего-то конкретного и единичного к бесконечности в буквальном смысле. Я попытаюсь показать вам простой пример. Рассмотрим сумму:

1 + 3 + 5 + 7+...
и так далее, без конца. Этот ряд представляет собой сумму нечетных чисел. Для обозначения номеров каждой промежуточной суммы этого ряда я буду использовать римские цифры — они отличаются от привычных и потребуются нам для поиска окончательной формулы.
Количество слагаемых:IIIIII IV ... n n+1
Слагаемые:1+ 3+ 5+ 7+...+ (n-1) + (2n+1) + ...
Сумма слагаемых: 1 4916 ... n2 (n+1)2
Обратите внимание, что первая сумма равна 1, сумма первого и второго членов—4, сумма первых трех слагаемых — 9, сумма первых четырех — 16. Заметили ли вы зависимость между этими суммами и теми числами, которые обозначают количество слагаемых? Во всех случаях суммы равны квадратам этих чисел — довольно неожиданный результат! Теперь вас осеняет мысль: быть может, такое правило выполняется на всем протяжении этого бесконечного ряда.

Для того чтобы проверить все суммы, потребуется бесконечное время. Однако математик не скован таким требованием.
Смотрите, как он поступает. Сначала он допускает, что это правило выполняется для n слагаемых (при этом п означает любое целое положительное число), то есть сумма первых n членов ряда равна n2 — такое предположение возникло в результате того, что ему уже известно. Затем он задает себе • вопрос: Будет ли это выполняться и далее? Будет ли это утверждение справедливо для суммы (п+1) первых слагаемых, если известно, что оно выполняется для суммы n слагаемых? Получим ли мы (n+1)2 в результате очередного суммирования?

Математик поступает просто: берет сумму п первых членов и говорит, что она равна n2. В каком виде можно представить n-ый член этого ряда? Заметим, что ряд можно записать в форме:
2*(1)-1, 2*(2)-1, 2*(3)-1, 2*(4)-1,...
и тогда n-ое по счету слагаемое будет иметь вид 2n - 1. Определим (n+1)-ое слагаемое, заменив n на (n+1). Получим:
2(n+1)- 1 = 2n+ 1.
Это легко проверить, так как нам известно, что каждое слагаемое ровно на 2 больше предшествующего слагаемого. Сложим это слагаемое с полученной ранее суммой n2 и посмотрим, будет ли новая сумма равна (n+1):
n2+(2n+1) = n2+2n+ 1
Те, кто помнит школьную математику, уже узнали эту формулу: записанное справа выражение равно
(n+1)2.
Иными словами, если сумма первых n членов ряда равна n2, то сумма первых (n+1) членов будет равна (n+1)2.
Таким образом, если это правило выполняется для какого-либо члена ряда, то оно будет справедливо и для следующего члена. Правильность закономерности для нескольких первых сумм была показана практическим методом, то есть прямыми вычислениями, но теперь нам ясно, что она сохранится на всей бесконечной протяженности этой последовательности. Такой подход постоянно используется в математических доказательствах.
Какое отношение это имеет к нашему разуму? Только что мы убедились, что несколько первых слагаемых позволяют нам с полной уверенностью судить о том, что произойдет с сотым, тысячным слагаемым, со слагаемым под номером гугол — с любым из всей бесконечности слагаемых. Эти факты известны нам с неоспоримой точностью. И это показывает, что разум не является чем-то конечным. Мне хотелось дать вам представление именно об этом, и не с точки зрения Осознания, а под неким иным углом, с позиции мышления, умозрительного понимания.

У нас есть основания считать, что подлинный разум не есть что-то ограниченное, что это не просто заключенный в череп мозг, а нечто такое, что в определенном направлении простирается безгранично. Математик пользуется этой силой, чтобы строить свои доказательства. Благодаря приведенным выше рассуждениям он определяет, чему будет равна сумма произвольного количества слагаемых, с той же уверенностью, с какой складывает первые несколько членов этого ряда.

Это отчасти приоткрывает тайну подлинного разума: в действительности, мы вовсе не ограниченные создания, мы так же велики, как Парабрахман. Я уже говорил о том, что, вполне возможно, существуют еще более глубокие Источники, чем те, которые представлены в идее Парабрахмана. Некоторые люди поднялись на огромные высоты и принесли нам эту идею, но что запрещает нам со временем подняться еще выше и проникнуть, как говорит Ауробиндо, в неведомые, беспредельные Бесконечности?



Содержание  Назад  Вперед