Построение физической модели

2.2 Построение физической модели

В квантовой мMханике доказывается, что систему взаимодействующих частиц можно описать с помощью некоторого квантового поля. При этом принято каждому виду взаимодействия ставить в соответствие свое квантовое поле [33,34]. По современным представлениям квантовое поле является наиболее фундаментальной и универсальной формой материи, лежащей в основе всех ее физических проявлений (как волновых, так и корпускулярных) [34].

Однако, несмотря на такую универсальность, концепция квантового поля в настоящее время используется только в физической теории микромира. Причины, мешающие расширению понятия квантового поля на макроскопические объекты, носят принципиальный характер. Суть этих затруднений заключается в следующем. Если квантовое поле является свободным, т. е. не испытывающим никаких взаимодействий, в том числе и самовоздействия, то его можно рассматривать как совокупность невзаимодействующих квантов этого поля.

При наличии взаимодействий, например, между полями различных типов, независимость квантов утрачивается. В том случае, когда взаимодействия начинают играть доминирующую роль в динамике полей, утрачивается и плодотворность самого введения квантов этих полей. Поскольку с точки зрения квантовой теории поля все тела являются сложными многоуровневыми системами с практически бесконечным числом взаимодействующих квантовых полей, это делает невозможным их описание методами, применяемыми в данной теории.

Но для нас это не является неодолимым препятствием, поскольку мы не стремимся к чисто предметному описанию, и понятие кванта поля уже не является обязательным, наоборот мы хотим от него отойти.
Для начала можно попытаться воспользоваться методами статистической физики, хорошо зарекомендовавшими себя в аналогичной ситуации при описании свойств макроскопических тел, моделируемых совокупностью большого числа взаимодействующих атомов или молекул. Есть все основания надеяться, что подобно тому, как свойства макроскопических тел имеют качественное отличие от свойств, составляющих их частиц, так и квантовые поля макроскопических объектов имеют свои качественные особенности, отличающиеся от квантовых полей микрочастиц.
Справедливости ради следует отметить, что, статистические методы широко используются в квантовой теории поля, см., например, [35]. Однако все они основаны на связи между уровнями энергии системы и числом частиц (на распределении Гиббса, которое устанавливает вероятность нахождения подсистемы в состоянии с энергией EnN и числом частиц N [35]), т.е. опять все замыкается на частицы, от чего мы хотим уйти. Необходимо действовать иначе.

Попробуем рассуждать следующим образом.

Рассмотрим пока в привычном представлении произвольную систему взаимодействующих частиц (например, твердое тело). Полную внутреннюю энергию тела, в соответствии с качественно различными типами взаимодействия, принято разделять на энергию межмолекулярных взаимодействий, энергию молекул, а также внутриатомную и ядерную энергию. Энергия самих молекул (атомов), в свою очередь, делится на электронную, колебательную и вращательную части, из них каждая следующая мала по сравнению с предыдущей [36]. Кроме того, различают несколько типов взаимодействия частиц, зависящих от их спинов: обменное взаимодействие, связанное с возможностью перестановки одинаковых частиц; спин-орбитальное взаимодействие, происходящее от релятивистского взаимодействия движущегося магнитного момента с электрическими полями; непосредственное магнитное взаимодействие моментов.

Обменное взаимодействие обычно значительно превышает остальные два [35].
Каждому из указанных выше взаимодействий соответствует свое квантовое поле. Таким образом, произвольный объект можно рассматривать как многоуровневую систему квантовых полей. Очевидно, что все эти поля сложным образом взаимодействуют друг с другом. В результате такого взаимодействия образуется единое квантовое поле объекта.

Данное поле содержит в себе помимо локальных составляющих, вызванных близкодействующими сильными внутриядерными взаимодействиями, нелокальные дальнодействующие поля и является наиболее полной характеристикой объекта, определяя не только его внутреннюю структуру, но и взаимодействие с другими, в том числе удаленными, объектами. Иными словами, в терминах релятивистской механики, энергетическая характеристика реального тела наряду с локальной энергией покоя частиц, входящих в состав тела, содержит нелокальную, дальнодействующую составляющую энергии физических полей, связанных с микроскопическим движением частиц и энергий их взаимодействия [38]

Для изучения закономерностей, которым подчиняются поведение и свойства объектов, моделируемых таким образом, попытаемся воспользоваться методами статистической физики. Для обоснования возможности применения этих методов, рассмотрим основные принципы квантовой статистики.
В соответствии с подходом, принятым в статистической физике [37] в рассматриваемом объекте обычно выделяется достаточно малая, но еще макроскопическая подсистема. Она не является замкнутой, и испытывает всевозможные воздействия со стороны остальных частей системы. Однако, именно в силу сложности и запутанности внешних воздействий со стороны, выделенная подсистема за достаточно большое время побывает достаточно много раз во всех возможных своих состояниях.

Поэтому появляется возможность ввести понятие вероятности p нахождения подсистемы в некотором состоянии, как предел отношения t к Т, при Т?, где t – та часть полного времени Т, в течение которого подсистема находилась в данном состоянии.
Имея в виду “почти непрерывность” энергетического спектра макроскопических тел, обычно вводится квантовый аналог классического элемента фазового объема – число квантовых состояний d замкнутой системы, приходящихся на определенный бесконечно малый интервал значений ее энергии. Тогда вероятность состояний, лежащих в данном интервале энергии, записывают в виде dp= d. Функция , в аналогичном выражении классической статистики, характеризует плотность распределения вероятности в фазовом пространстве и называется функцией статистического распределения (или просто функцией распределения) данного тела. В квантовой статистике ее заменяет матрица плотности в энергетическом представлении (статистическая матрица).

Нахождение статистического распределения и является основной задачей статистики, поскольку знание матрицы плотности позволяет вычислять среднее значение любой величины, характеризующей систему, а также вероятности различных значений этих величин.
Матрица плотности в энергетическом представлении вводится следующим образом [37]. Выделенная нами подсистема на протяжении малого промежутка времени является квазизамкнутой, поскольку ее внутренняя энергия намного больше энергии взаимодействия с другими подсистемами. Поэтому появляется возможность ввести понятие стационарных состояний, которые получаются при полном пренебрежении всеми взаимодействиями данной подсистемы с окружающими частями замкнутой системы. Обозначим через n(q) полный набор ортонормированных волновых функций этих состояний, где q условно обозначает совокупность всех координат подсистемы, а индекс n – совокупность всех квантовых чисел, отличающих различные стационарные состояния с энергией En.

Предположим, что в данный момент времени подсистема находится в некотором полно описанном состоянии с волновой функцией . Ее можно разложить по функциям n(q) и с их помощью найти среднее значение любой физической величины. Переход од полного описания подсистемы к неполному, осуществляемому посредством матрицы плотности, можно рассматривать как усреднение по ее различным состояниям. В результате такого усреднения получаем двойной (по двум индексам) набор некоторых величин nm, которые и являются элементами матрицы плотности в энергетическом представлении.
Вероятность нахождения подсистемы в n-м состоянии будет равна соответствующему диагональному элементу nn матрицы плотности. Дальнейшие рассуждения позволяют сделать вывод, что исходное требование статистической независимости подсистем, эквивалентно требованию диагональности матрицы nm, или, точнее, по мере уменьшения роли взаимодействий подсистем друг с другом, недиагональные элементы матрицы плотности стремятся к нулю. Задача об определении статистического распределения, таким образом, сводится к вычислению вероятностей n=nn.
В квантовой статистике доказывается еще одно важное утверждение, что статистическое состояние системы зависит только от ее энергии, и вероятности n могут быть выражены в виде функции только от величины уровня энергии n=(En).

Таким образом, квантовая статистика позволяет в принципе, исходя из одной только энергетической характеристики объекта, вычислять среднее значение любой величины, характеризующей систему, а также вероятности различных значений этих величин.

Мы видим, что основным условием применимости методов квантовой статистики является наличие у макроскопического объекта “почти непрерывного” энергетического спектра. Этому условию удовлетворяют не только тела, описываемые системой взаимодействующих частиц, но и объекты, в более общем случае, моделируемые системой квантовых полей. При этом появляется возможность описать не только внутренние свойства макроскопических объектов (свести к предыдущей задаче, с частицами в виде локальных полей), но и описать взаимодействие отдельных тел, поскольку каждое из них будет обладать нелокальными макроскопическими характеристиками, связанными с наличием дальнодействующих полей.

Содержание раздела