Принципы функционирования АНС 12


Фазовое пространство (phase space) имеет форму графика (в общем случае многомерного), на котором показаны все возможные состояния системы. В фазовом пространстве значение каждой переменной показано в зависимости от всех остальных переменных в тот же момент времени. Если система описывается n переменными, фазовое пространство имеет n измерений, причем каждой переменной соответствует одно измерение. Аттрактор (attractor) представляет собой точку, соответствующую устойчивому состоянию нелинейного динамического процесса. Мерой динамики на аттракторе является показатель Ляпунова (Lyapunov exponent). Каждое измерение фазового пространства характеризуется показателем Ляпунова. Положительное значение этого показателя является мерой чувствительности к начальным условиям или мерой расхождения предсказания, основанное на различных начальных условиях. Для систем, которые не имеют устойчивого состояния, характерно наличие, по меньшей мере, одного положительного показателя.

Хаотический аттрактор (chaos attractor) соответствует детерминированной нелинейной динамической системе, бесконечная последовательность состояний которой выглядит случайной. Он характеризует апериодическое равновесное состояние динамической системы. Однако, не смотря на то, что система в состоянии хаотического равновесия как бы «случайно» блуждает по различным состояниям, ее поведение является детерминированным, так как математическое уравнение его точно определяет.

Если точно известны это уравнение и состояние системы в данный момент, можно предсказать любую точку на ее хаотическом пути или траектории. Хаос обладает следующим свойством: если выбрать любые две начальные точки для хаотической системы, независимо от того, насколько они близки, начинающиеся в них пути будут расходиться со временем. Хаотическая система должна иметь фрактальную размерность и обладать чувствительностью к начальным условиям.

Странным аттрактором (strange attractor) является такое состояние равновесия в фазовом пространстве, в котором точки никогда не повторяются и орбиты никогда не пересекают друг друга. Однако как точки состояния системы, так и орбиты всегда остаются внутри некоторой области в фазовом пространстве. Если система оказывается в одной из таких областей, она будет двигаться вокруг нее все время или пока внешние воздействия не переведут ее новое состояние, причем в этом движении не наблюдается структуры или периодичности. Так как странные аттракторы являются непериодическими, они, как и хаотические, в общем случае, имеют фрактальную размерность. Странные аттракторы являются частной конфигурацией нелинейной хаотической системы.

Отрицательное значение показателя Ляпунова в каком либо измерении фазового пространства является мерой того, насколько точки сходятся друг к другу. При наличии определенного числа отрицательных значений показателя Ляпунова в фазовом пространстве возникают периодические аттракторы. В общем случае такие аттракторы существуют в виде предельного цикла, когда система повторяет один и тот же путь.

Аттрактор, для которого все траектории в фазовом пространстве сходятся к одной точке или величине, в нелинейной динамике называется точечным аттрактором (point attractor). Точечный аттрактор является предельным случаем периодического равновесия. Любая система, которая стремится к одному устойчивому состоянию равновесия, будет иметь точечный аттрактор. В этом случае фазовое пространство стягивается в точку, где скорость изменения состояний системы равны нулю. Нередко точечный аттрактор принимается также за нулевые координаты системы (центр системы координат многомерного фазового пространства). Все показатели Ляпунова точечных аттракторов отрицательны.

Для любого частного случая АНС (при заданных параметрах системы, которые в данном случае характеризуются совокупностью векторов входных данных r (t)  и модельных векторов {m (t)} k  ) можно определить показатели Ляпунова по всему n -мерному фазовому пространству. Для этого динамическую систему первоначально необходимо описать с помощью дифференциальных или разностных уравнений (которые здесь не рассматриваются ввиду ограниченности объема монографии). Практика анализа самоорганизующихся сетей показывает, что все показатели Ляпунова в подобных случаях оказываются отрицательными. Именно это и дает основание полностью принять здесь гипотезу о сходимости АНС к одному устойчивому состоянию, которое является точечным аттрактором данной динамический смысл.