Решение этой системы из трех уравнений даст точки (X1Y1) относительного экстремума:
FxX,Y,L) = О Fy(X,Y,L) = О FL(X,Y,L) = О
Допустим, мы хотим максимизировать произведение двух чисел при условии, что их сумма равна 20. Пусть Х и Y два числа. Таким образом, H(X,Y) = Х * Y является функцией, которая должна быть максимизирована при наличии ограничительной функции G(X,Y) = Х + Y - 20 = 0. Зададим функцию Лагранжа:
F(X,Y,L) = Х * Y + L * (X + Y- 20) Fx(X,Y,L)=Y+L Fy(X,Y,L)=X+L FL(X,Y,L)= X +Y-20
Теперь приравняем F^(X,Y,L) и Fy(X,Y,L) нулю и решим каждое из них для получения L:
Y+L=0 Y=-L и
X+L=0 X=-L
Теперь, приняв FL(X,Y,L) = 0, мы получим Х + Y - 20 = 0. Наконец, заменим Х и Y эквивалентными выражениями, содержащими L:
(-L) + (-L) - 20 = О 2 * -L - 20 L=-10
Так как Y = -L, то Y = 10 и Х = 10. Максимальное произведение: 10*10= 100.
Метод множителей Лагранжа был продемонстрирован для двух переменных и одной 01раничительной функции. Метод можно также применять, когда есть более чем две переменные и более чем одна ограничительная функция. Далее для примера следует форма для поиска экстремума, когда есть три переменные и две ограничительные функции:
В этом случае, чтобы определить точки относительных экстремумов, вам надо решить систему из пяти уравнений с пятью неизвестными. Позже мы покажем, как это сделать.
