Если задаваться различным уровнем ограничений по s, решая задачу (3.14), то можно получить зависимость макимальной доходности от s вида
rmax = rmax (s) (3.15)
Выражение (3.15), именуемое эффективной границей портфельного множества, в координатах «риск-доходность» является кусочно-параболической вогнутой функцией без разрывов. Правой точкой границы является точка, соответствующая тому случаю, когда в портфеле оказывается одна бумага с максимальной среднеожидаемой доходностью.
Подход Марковица, получивший широчайшее распространение в практике управления портфелями, тем не менее имеет ряд модельных допущений, плохо согласованных с реальностью описываемого объекта - фондового рынка. Прежде всего это отсутствие стационарности ценовых процессов, что не позволяет описывать доходность бумаги случайной величиной с известными параметрами. То же относится и корелляции.
Если же мы рассматриваем портфель из модельных классов, а ценовую предысторию индексов модельных классов - как квазистатистику, то нам следует моделировать эту квазистатистику многомерным нечетко-вероятностным распределением с параметрами в форме нечетких чисел. Тогда условия (3.12) – (3.13) запиываются в нечетко-множественной форме, и задача квадратичной оптимизации также решается в этой форме. Решением задачи является эффективная граница в виде нечеткой функции полосового вида.
Каждому отрезку на эффективной границе, отвечающей абсциссе портфельного риска, соответствует нечеткий вектор оптимальных портфельных долей.
И, наконец, если нам заданы контрольные нормативы по доходности и риску (бенчмарк модельного портфеля), которые нам следует соблюсти в нашем портфеле, увеличивая доходность и одновременно снижая риск. Если бенчмарк попадает в полосу эффективной границы, то возникает дабл-риск (по факторам доходности и волатильности), что модельный портфель «не переиграет» бенчмарк.
Итак, изложение модифицированного подхода Марковица завершено. Далее по тексту статьи мы считаем, что имеем дело с квазистатистикой модельных индексов в портфеле, которая моделируется нами посредством N-мерного нечетко-вероятностного распределения. Оценив параметры этого распределения как нечеткие числа, мы решаем задачу квадратичной оптимизации в нечеткой постановке, получая эффективную границу в форме криволинейной полосы.
Рассмотрим простейший пример американского модельного портфеля из двух модельных классов: правительственных долгосрочных облигаций (Класс 1, характеризующийся индексом LB Govt Bond) и высококапитализированных акций (Класс 2, характеризующийся индексом S&P500). Сводные данные по обоим индексам приведены в таблице 3.4.
