Коэффициенты прямых затрат
В нашем примере это означает, что весь объем производства угля(Y1) равен сумме расхода угля на собственные нужды угольной промышленности(x11), на производство электроэнергии(x12), на производство черных металлов(x13), на производство продукции других отраслей(x1m) и расходу угля на непроизводственное потребление и накопление(y1).
Для i-й отрасли система линейных уравнений примет следующий вид:
Yi=xi1+xi2+xi3+…+xij+…+xim+yi
или
Yi=xi1+xi2+xi3+…+xij+…+xim+ei+ai;
в сокращенной записи
Yi=
или Yi=
где Yi– вся продукция i-й отрасли; i – номер отрасли производства по строкам межотраслевого баланса; j – номер отрасли производства по столбцам межотраслевого баланса; xij – продукция i-й отрасли, израсходованная на производство продукции отрасли j; yi – продукция i-й отрасли, использованная на непроизводственное потребление(ei) и накопление(ai), поскольку yi=ei+ai
Если же рассматривать межотраслевой баланс по столбцам, то система линейных уравнений примет следующий вид:
Yj=x1j+x2j+x3j+…+xij+…+xnj+Zj
или
Yj=x1j+x2j+x3j+…+xij+…+xnj+Wj+Pj ;
в сокращенной записи
Yj=
где Yj – вся продукция j-й отрасли; xij – продукция i-й отрасли израсходованная на производство продукции отрасли j; Zj – добавленная стоимость j-й отрасли, имеющая вид
Zj=Wj+Pj,
где Wj – оплата труда в j-й отрасли; Pj – чистый доход в j-й отрасли.
Приведенные системы уравнений (1) и (2) являются математическим описанием двустороннего процесса воспроизводства, нашедшего отражение в межотраслевом балансе: процесса кругооборота валового внутреннего продукта (ВВП) по материально-вещественному составу (первая система уравнений) и по затратам (вторая система уравнений).
Поскольку в межотраслевом балансе итоги по одноименным отраслям, записанные по строкам и графам, одинаковы и равняются объему валовой продукции соответствующей отрасли, а в целом по всем строкам и графам – всему ВВП, то могут быть записаны следующие равенства:
а) для отдельных одноименных отраслей материального производства
где k – номер отрасли материального производства;
б) для всего ВВП
При этом продукция, использованная на потребление и накопление (по строкам), равна добавленной стоимости (по графам) только в целом по итогу всех отраслей производства, где она выражает величину национального дохода (НД), а именно:
По каждой отрасли в отдельности эти итоги не равны, так как экономическое содержание их разное: yi по каждой отрасли выражает процесс использования продукции данной отрасли на непроизводственное потребление и накопление, а Wj+Pj выражают добавленную стоимость по каждой отрасли.
§2. Коэффициенты прямых затрат
Приведенные выше системы уравнений (1) и (2) отражают линейную зависимость между затратами на производство и выпуском продукции. Если увеличить производство продукции какой-либо отрасли, то соответственно (при прочих равных условиях) возрастут и затраты на производство продукции данной отрасли. Количественно эта связь выражается через коэффициенты затрат продукции одной отрасли на производство продукции другой отрасли.
Коэффициенты эти принято обозначать через aij. Они показывают расход продукции i-й отрасли на производство единицы продукции
j-й отрасли и исчисляются по следующей формуле:
aij=
откуда
xij=
где aij – коэффициенты затрат продукции отрасли i напроизводство единицы продукции отрасли j; xij – общий объем затрат продукции отрасли i на производство продукции отрасли j; Yj – общий объем производства продукции отрасли j.
При этом если xij и Yj даны в ценностном выражении, то и aij является удельным расходом в рублях на 1 р. продукции. Если же xij и Yj даны в натуральном выражении, то aij будет удельным расходом в натуральном выражении (единиц i-го продукта на единицу j-го продукта).
Коэффициенты затрат aij отражают прямые связи между отраслями. Например, расход угля непосредственно на выработку электроэнергии, расход металла непосредственно на производство станков и т.д. Поэтому их называют коэффициентами прямых затрат.
Если выразить общий объем затрат продукции одних отраслей на производство продукции других отраслей (xij) через произведение коэффициентов прямых затрат на весь выпуск потребляющей отрасли (aij Yj), то система уравнений использования продукции в народном хозяйстве, по данным межотраслевого баланса в ценностном выражении, примет следующий вид:
Y1=a11Y1+a12Y2+…+a1jYj+…+a1mYm+y1;
Y2=a21Y1+a22Y2+…+a2jYj+…+a2mYm+y2;
…………………………………………………
Yi=ai1Y1+ai2Y2+…+aijYj+…+aimYm+yi;
…………………………………………………
Yn=an1Y1+an2Y2+…+anjYj+…+anmYm+yn;
или в сокращенной записи
Yi=
Если теперь выписать коэффициенты прямых затрат (aij) в отдельную таблицу, то они образуют матрицу коэффициентов прямых затрат, характеризующих производственные связи между отраслями. Матрица эта имеет следующий вид:
Приведенную выше систему уравнений (6) в матричной форме можно записать в виде:
Y=AY+y, (8)
где A – упомянутая матрица коэффициентов aij; Y – вектор-столбец Y; y – вектор-столбец y.
Эта же система уравнений (8) может быть представлена в виде:
(E-A)Y = y, (9)
где Е – единичная матрица (матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, остальные элементы матрицы равны 0).
В матричной форме это записывается в виде
Такая символика, широко применяемая в линейной алгебре, очень удобна для пользования, так как освобождает от необходимости громоздких записей матриц в развернутом виде.
§3. Коэффициенты полных затрат
Для более глубокого изучения межотраслевых связей и совершенствования прогнозирования народного хозяйства, наряду с коэффициентами прямых затрат, большое научное и практическое значение приобретает исчисление так называемых коэффициентов полных затрат, т.е. затрат, связанных с производством того или иного продукта не только прямо, но и косвенно через другие продукты.
Как же исчисляются полные затраты? Рассмотрим процесс образования полных затрат на примере затрат угля на производство огнеупоров, воспользовавшись для этого данными межотраслевого баланса (табл.4). По данным баланса прямые затраты угля в расчете на 1000 р. продукции огнеупоров составляют 30,1 р., а полные затраты – 146,9 р., или в 4,9 раза больше.
Это вызвано тем, что на производство огнеупоров идёт большое количество нерудного сырья, кокса, электроэнергии и других материалов, на изготовление которых расходуется уголь, равно как и на его собственную добычу.
Кроме того, осуществляются перевозки сырья и материалов для производства огнеупоров, а также перевозки последних к месту потребления.
Таблица 5
Прямые затраты в рублях на 1000 р. продукции огнеупоров
| Наименования |
Огнеупоры |
Нерудное сырье |
Уголь |
Кокс |
Электроэнергетика |
Перевозки |
| Нерудное сырье |
113,5 |
2,1 |
– |
– |
– |
– |
| Уголь |
30,1 |
24,7 |
52,0 |
716,6 |
222,8 |
74,1 |
| Кокс |
72,6 |
14,3 |
– |
67,6 |
– |
– |
| Электроэнергия |
30,8 |
44,6 |
21,8 |
26,0 |
1,2 |
13,2 |
| Перевозки |
137,6 |
188,9 |
237,8 |
32,2 |
– |
– |
Косвенные затраты угля на производство материалов и топлива, а также на перевозки, связанные с производством огнеупоров, можно подсчитать следующим образом.
Косвенные затраты угля 1-го порядка
На производство нерудного сырья ……………….…
На производство угля…………………………..………
На производство кокса……………………………….
На производство электроэнергии ……………...…
На перевозки……………………………………….……
Итого
косвенных затрат угля 1-го порядка ………………….……73,5 р. Косвенные затраты угля 2-го порядка
На производство нерудного сырья
На производство угля
На производство кокса
На производство электроэнергии
На перевозки
Итого
косвенных затрат угля 2-го порядка 12,91 р. Затем подсчитываются косвенные затраты угля 3-го порядка,
4-го порядка и т.д.
Аналогичным образом исчисляются косвенные затраты по другим видам материалов, топлива и электроэнергии. Подсчитав сумму всех косвенных затрат данного продукта на производство другого продукта и прибавив сюда прямые затраты, мы получим полные затраты. Таким образом, полные затраты представляют собой сумму прямых и косвенных затрат одного продукта на производство единицы другого продукта по всей цепи технологической связи производства продуктов.
Однако, как видно из приведенного выше примера, исчисление полных затрат (даже при четырех элементах) представляет собой большие трудности и связано с огромными вычислениями. В настоящее время математические методы исчисления полных затрат разработаны подробно и производятся с помощью компьютеров.
Коэффициенты полных затрат тесно связаны с алгебраическим решением системы уравнений межотраслевого баланса. Решая эти уравнения относительно Yi, после того как вместо аij поставлены конкретные числа, а y1,y2,…,yn оставлены в алгебраической форме, получим для каждого Yi выражение следующего вида
Yi = bi1y1 + bi2y2 + … + bijyj + … + bimyn ,
где bij – коэффициенты полных затрат.
Если теперь положить yj = 1, а все остальные значения y равными нулю, то есть y1 = y2 =…= yj-1 = yj+1 =…= yn = 0, то получим Yi = bij.
