Условная вероятность

9.2.1. Условная вероятность

Условная вероятность события d при данном s — это вероятность того, что событие d наступит при условии, что наступило событие s. Например, вероятность того, что пациент действительно страдает заболеванием d, если у него (или у нее) обнаружен только симптом s.

В традиционной теории вероятностей для вычисления условной вероятности события d при данном s используется следующая формула:

P(d|s)=(d^ s)/P(S) (9.1)

Как видно, условная вероятность определяется в терминах совместимости событий. Она представляет собой отношение вероятности совпадения событий d и s к вероятности появления события s. Из формулы (9.1) следует, что

P(d^s)=P(d|s)P(d).

Если разделить обе части на P(s) и подставить в правую часть (9.1), то получим правило Байеса в простейшем виде:

P(d|s)=(s|d)P(d)/P(S) (9.2)

Это правило, которое иногда называют инверсной формулой для условной вероятности, позволяет определить вероятность P(d | s) появления события d при условии, что произошло событие s через известную условную вероятность P(s | d). В полученном выражении P(d) — априорная вероятность наступления события d, a P(d | s) — апостериорная вероятность, т.е. вероятность того, что событие d произойдет, если известно, что событие s свершилось.

Для систем, основанных на знаниях, формула (9.2) гораздо удобнее формулы (9.1), в чем вы сможете убедиться в дальнейшем.

Предположим, что у пациента имеется некоторый симптом заболевания, например боль в груди, и желательно знать, какова вероятность того, что этот симптом является следствием определенного заболевания, например инфаркта миокарда или перикардита (воспаление каверн в легких), или чего-нибудь менее серьезного, вроде несварения желудка. Для того чтобы вычислить вероятность Р(инфаркт миокарда боль в груди) по формуле (9.1), нужно знать (или оценить каким-либо способом), сколько человек в мире страдают таким заболеванием и сколько человек и больны инфарктом миокарда, и жалуются на боль в груди (т.е. имеют такой же симптом). Как правило, такая информация отсутствует, особенно последняя, которая нужна для вычисления вероятности Р (инфаркт миокарда л боль в груди). Таким образом, определение, данное формулой (9.1), в клинической практике не может быть использовано.

Отмеченная сложность получения нужной информации явилась причиной негативного отношения многих специалистов по искусственному интеллекту к вероятностному подходу вообще (см., например, [Charniak and McDermott, 1985, Chapter 8]). Это негативное отношение подкреплялось тем, что в большинстве классических работ по теории вероятностей понятие вероятности определялось как объективная частотность (частота появления при достаточно продолжительных независимых испытаниях).

Однако существует мнение, что эти базовые предположения небесспорны с точки зрения практических приложений (см., например, [Pearl, 1982] и [Cheeseman, 1985]). Сторонники такого подхода придерживаются субъективистской точки зрения на определение вероятности, который позволяет иметь дело с оценками совместного появления событий, а не с действительной частотой. Такой взгляд на вещи связывает вероятность смеси событий с субъективной верой в то, что событие действительно наступит.

Например, врач может не знать или не иметь возможности вычислить, какая часть пациентов, жалующихся на боль в груди, страдает инфарктом миокарда, но на основании собственного опыта он может оценить, у какой части его пациентов, страдающих этим заболеванием, встречался такой симптом. Следовательно, он может оценить значение вероятности Р(боль в груди | инфаркт миокарда). Субъективный взгляд на природу вероятности тесно связан с правилом Байеса по следующей причине. Предположим, мы располагаем достаточно достоверной оценкой вероятности P(s | а), где 5 означает симптом, a d— заболевание. Тогда по формуле (9.2) можно вычислить вероятность P(d\ s). Оценку вероятности P(d) можно взять из публикуемой медицинской статистики, а оценить значение P(s) врач может на основании собственных наблюдений.

Вычисление P(d | s) не вызывает затруднений, когда речь идет о единственном симптоме, т.е. имеется множество заболеваний D и множество симптомов S, причем для каждого члена из D нужно вычислить условную вероятность того, что у пациентов, страдающих этим заболеванием, наблюдался один определенный симптом из множества S. Тем не менее, если в множестве D имеется т членов, а в множестве S— п членов, потребуется вычислить тп + т + п оценок вероятностей. Это отнюдь не простая работа, еcли в системе медицинской диагностики используется до 2000 видов заболеваний и огромное число самых разнообразных симптомов.

Но ситуация значительно усложняется, если мы попробуем включить в процесс составления диагноза не один симптом, а несколько.

В более общей форме правило Байеса имеет вид

P(d|s1^...^sk )= P(s1^...^sk|d)P(d)/P(s1^...^sk) (9.3)

и требует вычисления (mn)k + m + nk оценок вероятностей, что даже при небольшом значении А; очень много. Эти оценки вероятностей требуются нам по той причине, что в общем случае для вычисления P(s1 ^ ....^ sk) нужно предварительно вычислить произведения вида

P(s1 | s2 ^.. .^sk )P(s2 | s3 ^.. .^sK )... P(sk ) .

Однако, если предположить, что некоторые симптомы независимы друг от друга, объем вычислений существенно снижается. Независимость любой пары симптомов Si, и Sj означает, что

P(Si)=P(Sl|Sj),

из чего следует соотношение

P(Si^Sj)=P(Si)P(Sj).

Если все симптомы независимы, то объем вычислений будет таким же, как и в случае учета при диагнозе единственного симптома.

Но, даже если это и не так, в большинстве случаев можно предположить наличие условной независимости. Это означает, что пара симптомов s\ и Sj является независимой, поскольку в нашем распоряжении имеются какие-либо дополнительные свидетельства на этот счет или фундаментальные знания Е. Таким образом,

P(Si|Sj,E)=P(Si|E).

Например, если в моем автомобиле нет горючего и не работает освещение, я могу смело сказать, что эти симптомы независимы, поскольку моих познаний в устройстве автомобиля вполне достаточно, чтобы предположить, что между ними нет никакой причинной связи. Но если автомобиль не заводится и не работает освещение, то заявлять, что эти симптомы независимы, нельзя, поскольку они могут быть следствием одной и той же неисправности аккумуляторной батареи. Степень доверия к симптому "не работает освещение" только увеличится, если обнаружится, что к тому же и двигатель не заводится. Необходимость отслеживать такого рода связи в программе и соответственно корректировать степень доверия к симптомам значительно увеличивает объем вычислений в общем случае (см. об этом в работе [Cooper, 1990]).

Таким образом, использование теории вероятности ставит перед нами следующие проблемы, которые лучше всего сформулировать в терминах задачи выбора:

• либо априори предполагается, что все данные независимы, и использовать менее трудоемкие методы вычислений, за что придется платить снижением достоверности результатов;
  
• либо нужно организовать отслеживание зависимости между используемыми данными, количественно оценить эту зависимость, реализовать оперативное обновление соответствующей нормативной информации, т.е. усложнить вычисления, но получить более достоверные результаты.
  

В главе 19 представлен обзор символических методов отслеживания зависимости между используемыми данными, а в главе 21 описаны некоторые численные методы моделирования зависимости между вероятностями.

В следующем разделе мы рассмотрим альтернативный подход, с помощью которого удается обойти указанные сложности при построении экспертных систем. Здесь же, а также в главе 21 будут проанализированы критические замечания, касающиеся этого подхода.