Рассмотрим сначала простейшие частные случаи.

Модель авторегрессии 1-го порядка − AR(1) (марковский процесс). Эта модель представляет собой простейший вариант авторегрессионного процесса типа (1.63), когда все коэффициенты кроме первого равны нулю. Соответственно, она может быть определена выражением

где α − некоторый числовой коэффициент, не превосходящий по абсолютной величине единицу

t − последовательность

случайных величин, образующая белый шум. При этом ε t зависит от δt и всех предшествующих δ, но не зависит от будущих значений δ. Соответственно, в уравнении (1.65) δ

t не зависит от ε t−1 и более ранних значений ε. В связи с этим, δ t называют инновацией (обновлением).

Последовательности ε, удовлетворяющие соотношению (1.65), часто называют также марковскими процессами. Модели авторегрессии 2-го порядка – AR(2) (процессы Юла).

Эта модель, как и AR(1), представляет собой частный случай авторегрессионного процесса, когда все коэффициенты πj в правой части (1.63) кроме первых двух, равны нулю. Соответственно, она может быть определена выражением

где последовательность δ1, δ2,… образует белый шум.

Условия стационарности ряда (1.66) (необходимые и достаточные) определяются как

В рамках общей теории моделей те же самые условия стационарности получаются из требования, чтобы все корни соответствующего характеристического уравнения лежали бы вне единичного круга. Характеристическое уравнение для модели авторегрессии 2-го порядка имеет вид:

Автокорреляционная функция процесса Юла подсчитывается

следующим образом. Два первых значения r(1) и r(2) определены

соотношениями

Модели авторегрессии порядка p (AR(p)-модели)